Read Ebook: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica by Newton Isaac

Font size: 10 px 15 px 20 px 25 px 30 px 35 px

Background color: BlackWhiteGrayLight GrayDark GrayDim Gray

Text color: BlackWhiteGrayLight GrayDark GrayDim Gray

Apply/Save settings

Ebook has 294 lines and 118825 words, and 6 pages

Constat utrumq; ex Conicis.

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casus caeteros demonstratione confirmare.

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice principali.

Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione temporis periodici.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus Ellipseon.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, inq; GS infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto a in primo casu cadente ad eandem partem lineae GK cum puncto A; in secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineae GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Nomen Conicae sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela includatur. Nam si punctum p incidit in rectam, qua quaevis ex punctis quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti aequentur duobus rectis, & lineae quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis aequalibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis PS x PR aequale rectangulo sub duabus aliis PS x PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ x PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS x PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duae primae PQ, PR ducuntur. Caeteris in casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quae vulgo nominantur Sectiones Conicae. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in infinitum, eoq; pacto latera figurae quae ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per caetera puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam infinitam p ipsi SPT parallelam, inq; ea capiendo semper p aequalem Pr, & agendo rectas B, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR ad PT, pB ad PB, p ad Pt in eadem ratione, erunt p & Pr semper aequales. Hac methodo puncta Trajectoriae inveniuntur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius quilibet rectilineus & utrinq; productus DC circa polum C. Notentur puncta M, N in quibus anguli crus BC secat radium illum ubi crus alterum BH concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Deinde ad actam infinitam MN concurrant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & cruris alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quaesitam.

Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis; & sic de curvis lineis superiorum ordinum: Lineae duae erunt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeoq; AD aequalis est OA x AB ? ad & DG aequalis est OA x dg ? ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, atq; adeo in aequatione quavis, qua relatio inter abscissam AD & ordinatam DG habetur, indeterminatae illae AD & DG ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione OA x AB ? ad pro AD, & OA x dg ? ad pro DG, producetur aequatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent, atq; adeo quae designat lineam rectam. Sin AD & DG ascendebant ad duas dimensiones in aequatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda & AD, DG in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.

Dico praeterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima; haec recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectae, quibus haec puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;. Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliae rectae quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quae per concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineae autem parallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur haec figura in figuram primam, habebitur Solutio quaesita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam & circulum.

Sunto AF, GB parallelae duae Conisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta tertia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sitq; CD semidiameter Figurae tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centroq; O & intervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quae circulum illum tangat, dabitur regula MN cujus ope Trajectoria describatur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriae specie datae, datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quae datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq; axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF, EMF, quae capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB aequales respective. Describantur autem haec segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literae DRED eodem ordine cum literis BACB, literae DGFD eodem cum literis ABCA, & literae EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur haec segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G, sintq; centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium GEc in c. Et compleatur figura ABCdef similis & aequalis figurae abcDEF. Dico factum.

Describenda sit Trajectoria quae sit similis & aequalis lineae curvae DEF, quaeq; a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in partes datis hujus partibus DE & EF similes & aequales secabitur.

Dentur positione rectae quatuor ABC, AD, BD, CE, quarum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F aequalis, tangat rectam ABC caeteriq; anguli g, h, i caeteris angulis datis G, H, I aequales tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequalem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum aequalem angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo ACE. Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui literarum BADB, utq; literae FTHF eodem ordine cum literis CBEC, & literae FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrinq; producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis atq; literarum A, B, C: centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans circulum primum in a & secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figurae abcFGHI similis constituatur figura ABCfghi: Eritq; Trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit.

Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectae CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectaeq; AD occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans CE in i, producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro i, intervallo IH describatur circulus secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY aequalis IF, & agatur Yf ipsi BD parallela.

Describenda sit Trajectoria fghi, quae similis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes & proportionales, rectis AB & AD, AD & BD, BD & EC positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto ordine. Dein circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvae lineae FGHI consimilis.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, jungeq; FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL aequales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde aguntur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM aequalem angulo GHI, sitq; ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum ALN aequalem angulo FHI, sitq; ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literae CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectae CE in i. Fac angulum iEP aequalem angulo IGF, sitq; PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quae cum recta AED contineat angulum PQE aequalem angulo FIG, rectaeq; AB occurrat in f, & jungatur fi. Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem quoq; literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatq; semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo; quae huic areae proportionalis est, adeoq; omnia Spiralis puncta per aequationem finitam inveniri possunt: & propterea rectae cujusvis positione datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & aequatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea eadem semper conclusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binae rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum; ternae rectarum & curvarum tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae rectarum & curvarum quartae potestatis per aequationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo intersectiones numero infinitae rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quaeq; prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur aequatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem aequationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequationem generaliter exhiberi.

Hinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem finitam; & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines aequationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; caeterasq; Geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

Caeterum ob difficultatem describendi hanc curvam praestat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti. Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quaeratur longitudo L, quae sit ad 1/2 GK ut est AO quad. ad rectangulum AS x OD. Bisecetur OG in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO. Deniq; capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quaesitum AP, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE, & producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quaesito P quam proxime.

Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justae magnitudinis; dein produc EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut 1/2 L ad CF; centroq; N & intervallo AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO determinabitur quaerendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam longitudo quaedam L, quae sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructionem superiorem cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quae sinus est anguli ACQ existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N - ACQ + D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ + 1/2 D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E ad radium, tum angulus G ad angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ + E + 1/2 F diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad angulum N - ACQ - E - G + H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ + E + G + 1/2 H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur angulus ACq aequalis angulo ACQ + E + G + I &c. & ex cosinu ejus Cr & ordinata pr, quae est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus p. Siquando angulus N - ACQ + D negativus est, debet signum + ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N - ACQ - E + F, & N - ACQ - E - G + H negative prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ + E + G + I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C, Vertex A, Umbilicus S & Asymptotos CK. Cognoscatur quantitas areae APS tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectae SP, quae aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, & ab A & P ad Asymptoton agantur AI, PK Asymptoto alteri parallelae, & per Tabulam Logarithmorum dabitur Area AIKP, eiq; aequalis area CPA, quae subducta de triangulo CPS relinquet aream APS. Applicando arearum A & APS semidifferentiam 1/2 APS - 1/2 A vel 1/2 A - 1/2 APS ad lineam SN, quae ab umbilico S in tangentem PT perpendicularis est, orietur longitudo PQ. Capiatur autem PQ inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad puncti P contrarias partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere.

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo OKk circa centrum S gyrando, arcum Kk describere. Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.

Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datae longitudinis, sitq; DLF locus lineae EMG ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V + I, erit area ABFD ut V^2, & area ABGE ut V^2 + 2VI + I^2, & divisim area DFGE ut 2VI + I^2, adeoq; DFGE ? DE ut ? DE, id est, si primae quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I x V ? DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium I x V ? DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus inverse, adeoq; si primae nascentium rationes sumantur, ut I x V ? DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF vel EG proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quae sit ut areae ABGE latus quadratum. Q. E. D.

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola DE describatur, sit ut velocitas, adeoq; ut areae ABFD latus quadratum inverse; sitq; DL, atq; adeo areae nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME. Q. E. D.

Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a V in linea curva VIKk. Centro C intervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI, EK rectae AC in D & E, curvaeq; VIK in I & K occurrentes. Jungatur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur perpendiculum NT; sitq; circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I velocitates aequales. Quoniam distantiae CD, CI aequantur, erunt vires centripetae in D & I aequales. Exponantur hae vires per aequales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq; ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilinea ITKk, progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum in D & I accelerationes aequalibus temporibus factae sunt ut lineae DE, IT: temporibus autem inaequalibus ut lineae illae & tempora conjunctim. Tempora ob aequalitatem velocitatum sunt ut viae descriptae DE & IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE & IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT x IK rectangulum. Sed rectangulum IT x IK aequale est IN quadrato, hoc est, aequale DE quadrato & propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K aequales generantur. AEquales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem argumento semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q. E. D. Sed & eodem argumento corpora aequivelocia & aequaliter a centro distantia, in ascensu ad aequales distantias aequaliter retardabuntur. Q. E. D.

Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq; hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.

In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper Cp, quae sit ipsi CP aequalis, angulumq; VCp angulo VCP proportionalem constituat; & area quam linea Cp describit erit ad aream VCP quam linea CP describit, ut velocitas lineae describentis Cp ad velocitatem lineae describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP, adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justae quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCv angulo PCp, & linea Cv lineae CV, atq; figura vCp figurae VCP aequalis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figurae revolventis vCp, eodemq; tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & aequalem VP in figura quiescente VPK describere potest. Quaeratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur Problema. Q. E. F.

Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & aequales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam, pC demitte perpendiculum kr, idemq; produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper aequantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli in binos, motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineae pC ad motum angularem lineae PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroq; pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum motu aequaliter movebitur a P versus C, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, quae per punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a linea pC, quae sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum transversum alterius. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus alterum acquirit a linea pC, sitq; mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Haec ita se habebunt ubi corpora P & p aequaliter secundum lineas pC & PC moventur, adeoq; aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus VCp ad angulum VCP, sitq; nC aequalis kC, & corpus p completo illo tempore revera reperietur in n; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulus mCp angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallum mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. Centro C intervallo Cn vel Ck describi intelligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn x mt aequale rectangulo mk x ms, adeoq; mn aequale mk x ms ? mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumq; differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; rectangulum mk x ms est reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut 1/2 mt, id est ut altitudo pC. Hae sunt primae rationes linearum nascentium; & hinc fit mk x ms ? mt, id est lineola nascens mn, eiq; proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis pC. Q. E. D.

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quaerendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetae quibus describuntur, inter se collatae, in aequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine maxima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro altitudinum differentia CV - CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C revolvente movetur, quaeq; in Corollario 2. erat ut Fq. ? Aq. + ? A cub. id est ut ? A cub., substituendo T - X pro A, erit ut ? A cub. Reducenda similiter est vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cub. & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.

& collatis numeratorum terminis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad bT^m + cT^n, ut -Fq. ad -mbT^ - ncT^ + ?2 XT^ + ?2 XT^ &c. Et sumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bT^ + cT^, ut Fq. ad mbT^ + ncT^, & vicissim Gq. ad Fq. ut bT^ + cT^ ad mbT^ + ncT^. Quae proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq; ut 1 ad ? . Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad ? }. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati ? A cub. proportionali describit, aequalis angulo graduum 180 ? }. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut ? A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 ? } graduum. Nec secus resolvetur Problema in casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponendae sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.

Nam stantibus quae in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ; atq; adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione distantiarum aequales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano quovis PQR circa punctum C, atq; in spatiis liberis circa centrum S, adeoq; temporibus semper aequalibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, complebunt. Q. E. D.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvae illae superficies genitae sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.

Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in perimetro rotae. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo ABL ab A per B versus L, & inter eundum ita revolvi ut arcus AB, PB sibi invicem semper aequentur, atq; punctum illud P in Perimetro rotae datum interea describere viam curvilineam AP. Sit autem AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A, & erit viae hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus 1/2 PB, ut 2CE ad CB. Nam recta CE occurrat Rotae in V, junganturq; CP, BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tangant PH, VH circulum in P & V concurrentes in H, secetq; PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur Normales GI, HK. Centro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotae perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m, centroq; V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.

Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.

Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, & producatur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad CR. Centro C intervallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc globum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duae semicycloides AQ, AS, quae globum interiorem tangant in Q & S & globo exteriori occurrant in A. A puncto illo A, filo APT longitudinem AR aequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore AP applicetur ad semicycloidem illam APS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, parteq; reliqua PT cui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS. Q. E. F.

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT, Apt de perpendiculo AR inaequaliter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est ut totae sub initio describendae, & propterea partes quae manent describendae & accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totae; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partesq; describendae, semper ut totae; & propterea partes describendae datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum AR. Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse, atq; adeo temporibus aequalibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duae RS & RQ ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & aequales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent. Q. E. D.

Share on: WhatsApp @Hash Facebook Tweet