Read Ebook: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica by Newton Isaac

Font size: 10 px 15 px 20 px 25 px 30 px 35 px

Background color: BlackWhiteGrayLight GrayDark GrayDim Gray

Text color: BlackWhiteGrayLight GrayDark GrayDim Gray

Apply/Save settings

Ebook has 294 lines and 118825 words, and 6 pages

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT, Apt de perpendiculo AR inaequaliter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est ut totae sub initio describendae, & propterea partes quae manent describendae & accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totae; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partesq; describendae, semper ut totae; & propterea partes describendae datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum AR. Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse, atq; adeo temporibus aequalibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duae RS & RQ ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & aequales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent. Q. E. D.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem Terrae, quatenus Rotae eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronae. Nam Gravitas decrescit in progressu a superficie Terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur haec in vires TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum haec sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea facient ut partes illae simul describantur. Corpora autem quae partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. Q. E. D.

Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem describit, S initium Trajectoriae, OMNK axis superficiei curvae, TN recta a corpore in axem perpendicularis, OP huic parallela & aequalis a puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium Trajectoriae a puncto P in lineae volubilis OP plano AOP descriptum, A vestigii initium puncto S respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta; TG pars ejus vi centripetae qua corpus urgetur in centrum C proportionalis; TM recta ad superficiem curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissimq; urgetur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus transiens, & GF, IH rectae a punctis G & I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissae. Dico jam quod area AOP, radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis TG resolvitur in vires TF, FG; & vis TI in vires TH, HI: Vires autem TF, TH agendo secundum lineam PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P, quo Trajectoriae vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF, TH tollerentur, & corpus solis viribus FG, HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summam virium FG & HI aequante, describeret curvam AP. Sed vi tali describetur area AOP tempori proportionalis. Q. E. D.

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuae sunt & aequales, per Legem tertiam: adeo ut neq; attrahens possit quiescere neq; attractum, si duo sint corpora, sed ambo quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & si plura sint corpora haec ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

Sunt enim distantiae a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, atq; adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminos suos communi motu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos describunt omnino similes. Proinde similes sunt figurae quae his distantiis circumactis describuntur. Q. E. D.

Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad T deq; P ad Q. A dato puncto s ipsis SP, TQ aequales & parallelae ducantur semper sp, sq; & curva pqv quam punctum p, revolvendo circum punctum immotum s, describit, erit similis & aequalis curvis quas corpora S, P describunt circum se mutuo: proindeq; similis curvis ST & PQV, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum C: id adeo quia proportiones linearum SC, CP & SP vel sp ad invicem dantur.

Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S + P. Et componendo, summae temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figurae totae similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q. E. D.

Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; eaedem sunt ac si a corpore intermedio manarent. Q. E. D.

Et quoniam data est ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quaelibet hujus distantiae potestas; vel deniq; ut quantitas quaevis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiae hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiae utriusq;. Q. E. D.

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, neq; fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur.

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis praecedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.

Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per lineam QN; & si attractiones acceleratrices QM, QN aequales essent, hae trahendo corpora S & P aequaliter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se ac si hae attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN minor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, & maneret pars sola MN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitae forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis & Orbitae. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis: & propterea areae ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita PAB ad formam praefatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S attractiones acceleratrices, factae versus corpus Q, accedunt quantum fieri potest ad aequalitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, neq; minor minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum omnium QM maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neq; multo minor attractione QK. Q. E. D.

Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem absolutam, quae magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis centrum C, quam in corpus maximum S, quaeq; quadrato distantiae QC magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiae QS: ut rem perpendenti facile constabit.

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A, paribus distantiis, sibi invicem aequantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis, sibi invicem aequantur. Est autem absoluta vis attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus B, paribus distantiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad attractionem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices, quae ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt sibi invicem aequales. Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam corporis B. Q. E. D.

His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas & corpora centralia, ad quae vires illae dirigi solent. Rationi enim consentaneum est, ut vires quae ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, aestimandae erunt corporum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocunq; accedendi ad invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione AEtheris aut Aeris mediive cujuscunq; seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunq; impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut in Definitionibus explicui. In Mathesi investigandae sunt virium quantitates & rationes illae, quae ex conditionibus quibuscunq; positis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, conferendae sunt hae rationes cum Phaenomenis, ut innotescat quaenam virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphaerica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales motus inde consequantur.

Sit HIKL superficies illa Sphaerica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineae duae HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangula HPI, LPK similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphaericae particulae quaevis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undiq; terminatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitae sunt inter se aquales. Sunt enim ut particulae directe & quadrata distantiarum inverse. Et hae duae rationes componunt rationem aequalitatis. Attractiones igitur in contrarias partes aequaliter factae se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphaericam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q. E. D.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphaeris duabus attrahi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphaeras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi unius, factae versus singulas particulas Sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particulae sunt ut Sphaerae, hoc est in ratione triplicata diametrorum, & distantiae sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q. E. D.

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicae, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphaera ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineae, superficies & solida componi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequales magnitudinis contemnendae.

Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiae ejus a centro Sphaerae trahentis, & propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphaerae. Haec autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphaerae attractae particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio reciproce proportionalis quadrato distantiae ejus a centro Sphaerae; adeoq; huic aequalis attractio Sphaerae est in eadem ratione. Q. E. D.

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires centripetae decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utroq; Casu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphaericorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quae cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectae PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee, ut DT ad ET seu DE ad ES, & ob triangula Eqe, ESG similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex aequo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est ut PE ad PS. Q. E. D.

Nam si primo consideremus vim superficiei Sphaericae FE, quae convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superficiei pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola Dd, manente Sphaerae radio PE, Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr undiq; in superficie conica sitas exercita, ut haec ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphaerae radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S tendentem minor, in ratione PD ad PE, adeoq; ut PD x Dd. Dividi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD x Dd, hoc est, cum lineolae omnes Dd sibi invicem aequentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut 1/2 PFq. - 1/2 PDq. sive 1/2 PEq. - 1/2 PDq. vel 1/2 DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data 1/2 Dd, ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq. x Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq. x Ff & vis illa non data conjunctim. Q. E. D.

Etenim stantibus quae in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphaerae AB dividi in particulas innumeras aequales Dd, & Sphaeram totam dividi in totidem laminas Sphaericas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq. x Ff & vis particulae unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff aequalis PS x Dd ? PE; & DEq. x Ff aequale Dd in DEq. x PS ? PE, & propterea vis laminae EFfe est ut Dd in DEq. x PS ? PE & vis particulae ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est ut DN x Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitae, ut areae omnes DNnd, hoc est Sphaerae vis tota ut area tota ABNA. Q. E. D.

ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetae, & pro PE medium proportionale inter PS & 2LD; tres illae partes evadent ordinatim applicatae linearum totidem curvarum, quarum areae per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.

id est ut

Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima LSI ? LD generabit aream Hyperbolicam; secunda 1/2 SI aream 1/2 AB x SI; tertia ALB x SI ? 2LDq. aream

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphaeram, sed expeditius per Theorema sequens.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut ? . Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet ut ? . Pone vires centripetas, e Sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PE^n ad IE^n, & ordinatae illae fient ut ? & ? , quarum ratio ad invicem est ut PS x IE x IE^n ad IS x PE x PE^n. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS x IE^n ad SA x PE^n. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IE^n ad PE^n dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.

Explicatis attractionibus corporum Sphaericorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere.

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphaericum, propterea quod sit reciproce ut quadratum distantiae attracti corporis a centro Sphaerae, haud sensibiliter augebitur ex contactu; atq; adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur Propositio de Sphaeris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphaericorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis tollantur, ideoq; vel in ipso contactu nullae sunt. Quod si Sphaeris hisce Orbibusq; Sphaericis partes quaelibet a loco contactus remotae auferantur, & partes novae ubivis addantur: mutari possunt figurae horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additae vel subductae, cum sint a loco contactus remotae, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q. E. D.

Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis proportionales & in totis similiter sitae; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D.

Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distantiae AZ, BZ; sin particulae statuantur inaequales, sint ut hae particulae in distantias suas AZ, BZ respective ductae. Et exponantur hae vires per contenta illa A x AZ & B x BZ. Jungatur AB, & secetur ea in G ut sit AG ad BG ut particula B ad particulam A; & erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis A x AZ per Legum Corol. 2. resolvitur in vires A x GZ & A x AG, & vis B x BZ in vires B x GZ & B x BG. Vires autem A x AG & B x BG, ob proportionales A ad B & BG ad AG, aequantur, adeoq;, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt. Restant vires A x GZ & B x GZ. Tendunt hae ab Z versus centrum G, & vim A + B x GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulae attractivae A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes.

Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & componatur hujus vis cum vi A + B x GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius G & particulae C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si globus & particula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscunq; RSTV ac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q. E. D.

Demonstratur eodem modo, atq; Propositio superior.

Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe aequalis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versus A est ut AP x FK ? PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & AP x FK ? PE conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum aequatur rectangulo PE x cE seu PE x Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE x Ff & AP x FK ? PE conjunctim, id est, ut contentum Ff x AP x FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP. Q. E. D.

Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum Sphaeroidis.

E corpore dato formanda est Sphaera vel Cylindrus aliave figura regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex data lege attractionis quaeratur motus corporis: Solvetur Problema quaerendo motum corporis recta descendentis ad hoc planum, & componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quaeratur Lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares factae ea conditione ut corpus attractum in data quacunq; curva linea moveatur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dignitas quaelibet A^; & quaeratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte quam minima O, & ordinatim applicatam ^ resolvo in Seriem infinitam

A^ + m ? n OA^?n} + ? 2nn O^2 A^?n} &c.

Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiae & emergentiae GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH aequalis IK, & ad planum Aa demittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet aequalibus temporibus aequalia illa secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam AG & punctum H, interq; punctum I & lineam dK; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH, IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q. E. D.

Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sintq; arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineae incidentiae GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiae ad sinum emergentiae ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emergentiae jam factum aequalem radio, angulus emergentiae erit rectus, adeoq; linea emergentiae coincidet cum plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emergentiae coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiae Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiae. Revertetur itaq; inter plana Cc, Dd describendo arcum Parabolae QRq, cujus vertex principalis est in R; secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q; dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus prioribus QP, PH similibus & aequalibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c. ac prius in P, H &c. emergetq; tandem eadem obliquitate in h, qua incidit in H. Concipe jam planorum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & numerum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcunq; assignatam continua reddatur; & angulus emergentiae semper angulo incidentiae aequalis existens, eidem etiamnum manebit aequalis. Q. E. D.

Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, puncto D utcunq; assumpto. Et posito sinu incidentiae in superficiem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergentiae e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M - N ad N, tum AD ad H ut sit AH aequalis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Junge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurrentem KB productae in L, ipsiq; DL parallelam age BF: & punctum F tanget lineam EF, quae circa axem AB revoluta describet superficiem quaesitam. Q. E. F.

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatae sunt figurae Sphaericae. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphaerice figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis praeferenda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quascunq; perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur.

DE MOTU CORPORUM

Liber SECUNDUS

Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D.

Sit A ad A - B ut B ad B - C & C ad C - D &c. & dividendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q. E. D.

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tempore DGgd, describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB, tempore AB2G2D spatium descensus BF2G, atq; tempore 2D2G2g2d spatium descensus 2GF2e2g: & velocitates corporis in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF2D, AB2e2d respective; atq; maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Share on: WhatsApp @Hash Facebook Tweet